微分-10|距離、速度、加速度と微分の関係

参考資料

 

ここまで、微分の考え方とグラフの関係について見てきました。

今回は速度を用いた応用例を紹介します。

 

速度とは単位時間あたりに進む距離のことです。

100 km/時 (=100 km/h) は時速 100 km のことで、1 時間に 100 km 進むことを意味します。

では 200 km を 10 時間で進んだ場合の速度 v はどのように計算されますか?

 

それは(1)式のように計算されます。

参考資料 (1)式

したがって 1 時間に 20 km 進む、つまり時速 20 km です。

 

時速 20 km で x 時間進んだときの距離 y km は(2)式で表わされます。

参考資料 (2)式

縦軸に y、横軸に x をとってグラフを描くと図1のとおりです。

参考資料 図1

このグラフの傾きは 20 km/h であることから、グラフの傾きが速度を表わしています。

そしてグラフの傾きは微分で求めることができます。

参考資料 (3)式

 

さて上の例では速度がずっと一定(20 km/h)のままと考えています。

でもたとえば止まっている車が動き始めると徐々に加速していくように、速度は時間とともに変わることが多いです。

このことについて考えるために、x 時間進んだときの距離 y km が次式で表わされるとします。

参考資料 (4)式

グラフは図2のようになります。

参考資料 図2

 

グラフが変わっても傾きが速度を表わすことに変わりはないので、微分をしましょう。

参考資料 (5)式

ここでは式の中に x が入っているので、時間とともに速度 v は変化します。

参考資料 表1

表1からわかるように、速度は時間とともに大きくなっています。

 

ここで加速度の出番です。

加速度は、単位時間あたりの速度の変化のことです。

距離を時間で微分すると速度がわかったように、速度を時間で微分すると加速度がわかります。

上の例では加速度 a は(6)式で計算されます。

参考資料 (6)式

したがって加速度は 4 km/h2 で一定であることがわかります。

このことはグラフを描けばすぐにわかります。

参考資料 図3

このように、微分は速度や加速度を求めるときに使うことができます。

 

他にも、たとえば球の面積と体積の関係がそうです。

半径 r の球の面積 A と体積 V の公式は(7)式です。

参考資料 (7)式

公式を並べてみて気づいたでしょうか。

A と V は微分を介して(8)式の関係があります。

参考資料 (8)式

さらに積分を組み合わせると関係がもっとわかったりしますが、その話はまたいずれすることにしましょう。

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