微分-05|微分と傾きの関係 (2)

今回は微分の定義について考えます。内容は、これまで行ってきた計算をより一般的な形で示すだけです。

ここでは \(\small f(x)\) という記号を使います。たとえば \(\small f(x)=x^2\) のように、\(\small f(x)\) は \(\small x\) によって変化する関数を表す一般的な記号です。\(\small f(1)\) と書くと、その関数の \(\small x\) に \(\small 1\) を代入することを意味します。

これまで見てきたように、微分することは傾きを求めることです。そして傾きは、\(\small x\) 軸方向の変化量 \(\small\Delta x\) に対する \(\small y\) 軸方向の変化量 \(\small\Delta y\) です。

\(\small x=x\) から \(\small x=x+h\) まで変化させると、その傾きは\(\small\,(1)\,\)式で表されます。

\(\small\color{blue}{\begin{align}\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}&=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\\&=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdots(1)\end{align}}\)

そして、\(\small x\) 軸方向の変化量 \(\small h\) を \(\small 0\) に近づけたときの傾きが微分となるので、それを\(\small\,(2)\,\)式で表します。

\(\small\color{blue}{\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdots(2)}\)

ここで、\(\small f’(x)\) は関数 \(\small f(x)\) を微分したことを表す記号で、\(\small\lim\) は limit(極限)を意味する記号です。

これが微分の一般的な定義です。

ではためしに、定義にしたがって \(\small f(x)=x^3\) の微分を計算してみましょう。

\(\small\color{blue}{\begin{align}\displaystyle f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}(3x^2+3xh+h^2)\\&=3x^2\cdots(3)\end{align}}\)

最後の計算は \(\small h=0\) と置くと考えてもらって大丈夫です。

このように定義にしたがって計算すれば、関数がどのような形であっても微分することができます。ただ、いちいち計算するのは面倒なので、微分の公式は覚えておいたほうが便利です。

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