微分-09|3次関数のグラフの形を考える

参考資料

 

前回、2次関数を利用して微分とグラフの関係を見ました。

それを応用して、今回は3次関数のグラフを見てみましょう。

 

(1)式の関数を考えます。

参考資料 (1)式

まず1回微分します。

参考資料 (2)式

したがって x=-2、4 のとき f’(x)=0、すなわち頂点と考えることができます。

 

もう一度、微分します。

参考資料 (3)式

前回の説明で f”(x) がプラスであれば下に凸、マイナスであれば上に凸の曲線になることがわかっています。

ただ前回の2次関数と違うのは、f”(x) の式にまだ x が残っていることです。

x の値によって f”(x) はプラスにもマイナスにもなります。

この場合どうすればよいのかと思うかもしれませんが、そのまま考えればよいです。

f”(x) がプラスになる x>1 の領域では下に凸、マイナスになる x<1 の領域では上に凸の曲線を考えます。

そしてその境目が f”(x)=0、つまり x=1 のときです。

 

今までのところを表にまとめましょう。

参考資料 表1

 

では実際のグラフと比較してみます。

参考資料 図1

まず x=-2、4 のときに傾きが 0 となる頂点(この場合は極大と極小)が現れています。

そして f”(x) がプラスになる x>1 の領域では下に凸、マイナスになる x<1 の領域では上に凸の曲線が描かれています。

f”(x) が 0 になる x=1 の点を変曲点といい、上に凸の曲線と下に凸の曲線が入れ替わる点を意味します。

 

このように、グラフの形を推測する上で微分は役に立ちます。

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