微分-08|2次関数のグラフの形を考える

参考資料

 

関数の微分から傾きを計算することで、接線の方程式が出てくることがわかりました。

今回は、関数の微分からグラフの形を考える方法について紹介します。

 

まずは(1)式の2次関数を考えます。

参考資料 (1)式

図1のように、この2次関数は頂点の座標が (-1,2) である、下に凸のグラフを描きます。

参考資料 図1

 

それでは微分の計算とグラフの形がどのように関係するのか、見ていきましょう。

まず f(x) を1回微分します。

参考資料 (2)式

ここで x に -4 から 2 まで代入して傾きを計算します。

参考資料 表1

 

ここで注目すべきは f’(x)=0 となる x=-1 の点です。

f’(x) は傾きを表わしていますが、傾きが 0 とはどういうことでしょうか。

傾きが 0 とは x 軸と平行の線を表わします。

そして傾きが 0 の点はグラフが折り返す先端部分、つまり頂点になる場合が多いです。

したがってまずは f’(x)=0 の点を探すことに意味があります。

 

さらに f’(x) をもう一度 x で微分しましょう。

参考資料 (3)式

この f”(x)(f(x) を2回微分したもの)は、プラスになるかマイナスになるかが重要です。

この関数のようにプラスになる場合は下に凸のグラフになります。

一方、マイナスになる場合は上に凸のグラフになります。

 

別の関数でもう一度考えてみましょう。

参考資料 (4)式

この関数を1回微分します。

参考資料 (5)式

f’(x)=0 となる点は x=2 です。

もう1回微分します。

参考資料 (6)式

2回微分したものはマイナスになっているので、上に凸のグラフが描けるはずです。

実際のグラフは図2のとおりです。

参考資料 図2

 

ここまでで基本的な考え方は終わりです。

2次関数はそれほどグラフが複雑ではないので、ここで行った計算をするほどでもありません。

それよりは3次関数や4次関数といった、より複雑な関数で大事になってきます。

そちらへの応用はまた次回に説明しましょう。

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