微分-01|微分すると何がわかりますか?

今回から数学の微分について考えてみます。

高校で初めて勉強する微分。一通り計算方法を習いますが、受験のためだけではなく、特に理系で大学に進学するといろいろなところで微分を使います。

数学の世界だけでなく、化学や物理、生物など、さまざまな分野で手段として微分を使うことはよくあります。そういう意味で微分の方法を忘れてはいけませんし、また微分の意味を理解しておくことが応用分野では重要です。

というわけで、微分について復習しましょう。

最初にあらかじめお断りしておきますが、私は数学者ではありませんので表現や理解の仕方など厳密さに欠けるところがあるかもしれません。私のこれまでの経験に基づいて理解してきたこと、考え方などを紹介しますので参考程度にしてください。

まずは「微分すると何がわかるのか?」です。

簡単にいうと、傾きを求めることができます。

たとえば\(\small\,(1)\,\)式の一次関数があったとします。

\(\small\color{blue}{y=2x+1\cdots(1)}\)

この式は傾きが \(\small 2\)、切片が \(\small 1\) の直線を表していて、図で表すと図1のようになります。

したがって、\(\small(1)\,\)式の一次関数に微分という操作を行うと、\(\small 2\) という傾きが出てくるわけです。

では\(\small\,(2)\,\)式の二次関数の場合はどうでしょうか。

\(\small\color{blue}{y=x^2\cdots(2)}\)

今度は図2のような曲線です。

この場合も微分という操作を行うと傾きが出てきますが、この場合の傾きとは何を表すのでしょうか?

そのあたりをこれから説明していくことにします。

まずは、微分で傾きがわかるということを意識しておいてください。それを知っておくだけでも、微分に対するイメージが固まってくるはずです。

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