ある関数 z が２つの変数 x と y で表わされるとき、(1)式のように書きます。
参考資料 (1)式
このとき z は x と y の関数である、と言います。
(1)式では x と y のどちらが変化しても z は変化します。
ここで y は変化せず x が x + h へ変化するとき、その傾きは(2)式で定義されます。
参考資料 (2)式
これが x に関する偏微分です。
同様に x は変化せず y が y + h へ変化するとき、その傾きは(3)式で定義されます。
参考資料 (3)式
これが y に関する偏微分です。
実際に(4)式を使って、定義にしたがって計算してみましょう。
参考資料 (4)式
(2)式と(3)式に(4)式をあてはめて計算します。
参考資料 (5)式
参考資料 (6)式
たしかに偏微分の答えが出てきました。
それでは、図で表わすと偏微分は何を意味しているのでしょうか。
そのことについて考えるために、中心が原点で半径が1の球を表わす方程式を使います。
参考資料 (7)式
参考資料 図1
(7)式の z を x と y の関数で表わすと(8)式が得られます。
参考資料 (8)式
ここで y を一定にして z を x で偏微分します。
参考資料 (9)式
(9)式は偏微分の結果なので、何らかの傾きを表わしています。
それでは何の傾きを表わしているのかというと、ある y の値で固定したときに、その y を通って xz 平面に平行な面で切ったときに現れる断面図上の曲線の傾きです。
たとえば y=0 で固定したときは(8)式が(10)式となり、(10)式で描かれるのは図2です。
参考資料 (10)式
参考資料 図2
図2は図1の球を xz 平面で切った断面図です。
(9)式に y=0 を代入した式は図2の赤点線のように、ある x における図2の曲線上の傾きを与えることになります。
同様に他の y の値で断面図を計算した結果が図3です。
参考資料 図3
y が大きくなると断面が小さくなる様子がわかります。
本当は3次元的に図を描けるとよいのですがその技術もないので、球を輪切りにしていく様子を頭で想像してください。
y が変われば(9)式も変化するため、x が同じでも得られる傾きが変わってきます。
その傾きは図3の y の値に対応した断面図上の線に沿った傾きを与えます。
以上見てきたように、偏微分は複数ある変数のうちいくつか固定して次元を減らした平面上での曲線の傾きを見ています。
図1の例だと３次元の球を２次元の面として取り扱っているわけです。
これが偏微分だとすると全微分とは何を表わしているのでしょうか。
それについてはまた次回に説明します。
