物理化学の数学|偏微分-4

参考資料

 

前回の続きで変曲点について考えます。

たとえば(1)式の関数があったとします。

参考資料 (1)式

この関数は図1のような曲線を描きます。

参考資料 図1

この曲線の極大および極小の位置を求めるためには、(1)式を微分した式を 0 に等しいと置くことで計算できます。

参考資料 (2)式

 

図1を見るとわかるように、3次式の曲線は上に凸の曲線と下に凸の曲線が組み合わさった形となります。

この形が入れ替わるところが変曲点です。

変曲点は関数を2回微分した式を 0 と置くことによって求められます。

参考資料 (3)式

したがって x=2 が変曲点であり、x<2 では上に凸の曲線、x>2 では下に凸の曲線が形成されます。

ちなみに2回微分した数値が負の場合は上に凸の曲線、正の場合は下に凸の曲線を与えます。

 

ファン・デル・ワールス状態方程式に戻ります。

臨界温度 Tc において臨界体積 Vc を与える2つめの条件は変曲点であることです。

実際に、温度を変化させたときの変曲点の動きを図2の点線で示します。

参考資料 図2

このように変曲点は Tc で Vc に収束していくことがわかります。

 

ファン・デル・ワールス状態方程式に変曲点の条件をあてはめて計算します。

前回、極値の条件を求めるときに1回微分した式が得られているので、その式をもう1回微分します。

参考資料 (4)式

こうして2つめの条件式を求めることができました。

この式と前回導出した式を組み合わせることで、臨界点を与える式を求めることができます。

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