平成27年度センター試験【旧数学I・A】第1問[2](1)

参考資料

 

命題に関する問題です。

命題には逆、裏、対偶があります。

たとえば p ⇒ q という命題の場合、逆、裏、対偶はそれぞれ図1のようになります。

参考資料 図1

ここで p と q の上に横線が引いてあるものは否定といって、p でないもの、q でないものを表わします。

否定のイメージは次のようなものです。

図2の緑色の部分が p であれば、その否定はそれ以外の白色の部分です。

参考資料 図2

 

さて、問題の命題は「(p1 かつ p2)⇒(q1 かつ q2)」です。

この命題の対偶を得るためには、まず逆を考えます。

この命題の逆は「(q1 かつ q2)⇒(p1 かつ p2)」です。

 

これを否定して裏を考えるためにはどうすればよいでしょうか。

「p1 かつ p2」の否定は「(p1 の否定)または(p2 の否定)」です。

これは図で考えるとわかりやすいです。

 

図3の青色の部分を p1、黄色の部分を p2 とすると、「p1 かつ p2」は緑色の部分です。

参考資料 図3

そうすると「p1 かつ p2」の否定は緑色以外のすべての部分です。

 

ところで p1 の否定は青色以外のすべての部分です。

参考資料 図4

一方、p2 の否定は黄色以外のすべての部分です。

参考資料 図5

そうすると「(p1 の否定)または(p2 の否定)」もまた図3の緑色以外のすべての部分であることがわかります。

 

以上から「(p1 かつ p2)⇒(q1 かつ q2)」の対偶は「(q1 の否定)または(q2 の否定)⇒(p1 の否定)または(p2 の否定)」です。

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