平成27年度センター試験【物理基礎】第3問 問1,2|ばねにはたらく力と仕事

参考資料

 

ばねの問題です。

この問題では基本的な公式を尋ねられているので、公式を覚えていればできます。

ばね定数 k のばねに力 F を加えたときの伸び x にはフックの法則が成り立ちます。

参考資料 (1)式

自然の長さから伸びたばねは元の長さに戻ろうとします。

その力に逆らって伸ばすために必要な仕事 w は(2)式で計算できます。

参考資料 (2)式

 

ここで、仕事について少し細かく見ていきましょう。

仕事は、物体にはたらく力 F と物体が移動した距離 x(ここでは自然の長さからの変化 x)の積で計算できます。

そうするとフックの法則から、仕事について次の式が得られそうです。

参考資料 (3)式

しかしこれは間違いです。

なぜならばねの場合、はたらく力がばねの長さによって変わってくるからです。

どういうことか、計算してみましょう。

 

力 F でほんの少しだけばねの長さを変化させて、これを dx とすると、このときの仕事 dw は次式で与えられます。

参考資料 (4)式

ばねの長さを 0 から x まで変化させたときの仕事 w は(4)式を積分することによって得られます。

参考資料 (5)式

ここで F が一定であれば問題ないのですが、F はばねの長さ x によって変わってくるので、積分の中に残したまま計算を行う必要があります。

したがって次のように計算します(ばね定数 k は一定とする)。

参考資料 (6)式

 

公式を覚えておけば積分の話はあまり関係ありませんが、その意味を知っておくとよいです。

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