平成28年度センター試験【数学I・A】第4問(1)

この問題はスマートな解答が思い浮かばなかったので地道に計算しました。

少しばかりの手掛かりとして、x と y は整数なので、どちらも正の値あるいはどちらも負の値とはならないことが想像できます。

x と y が整数で 92x と 197y を足しても 1 あるいは 10 には絶対ならないですから。

つまり x と y は必ず符号が逆になるので、この問題の不定方程式は 92x と 197y の差が 1 あるいは 10 になるような x と y を求めることになります。

 

地道に計算した結果を表にまとめました。

別添資料 表1

この表から解答はそれぞれ x=15 と y=-7,および x=-47 と y=22 であることがわかります。

 

とはいえこれはあくまで電卓あるいは Excel を使ったからこそ簡単にできる方法です。

もちろん 1 つずつ手で計算していくこともできますが、試験では時間が限られていますし、いつ答えにたどりつくかわからない状況で計算するのも精神的に疲れます。

そこで最初のいくつかの計算でパターンを見つけてしまいましょう。

そうすれば少しは計算する量を減らすことができます。

 

まず x が 1 から 6 までに注目します。

このとき y は 1 つおきに近い数字が出てきていることがわかります。

また差を見ると 13 ずつ減っていることに気づくので、x と y に数字を入れて計算しなくても差がいくつになるかはわかります。

つまり最初に x=2、y=1 のとき差が -13 と計算されると、次は x=4、y=2 のとき差が -26、その次は x=6、y=3 のとき差が -39 といった具合です。

 

この順番で考えると次は x=8、y=4 のとき差が -52 となります。

しかし表1を見るとわかるように、x=9、y=4 のときの差は 40 で、その絶対値は x=8、y=4 のときよりも小さくなっています。

したがってここで x=8 から x=9 へ 1 つずらして、再び 13 ずつ減らしていく計算をします。

差が x の係数である 92 の半分,つまり 46 を超えるときは x を 1 つずらしたほうが差の絶対値は小さくなります。

 

以上のようなパターンに気づくと、すべてを計算するよりは少しは楽になるでしょう。

x が 9 から 21 までは差を 13 ずつ減らしていき、x=23 での差は -51 となって 46 を超えるので x を 1 つ下にずらして x=24 から再び計算を始めます。

そのように計算して、差が 1 および 10 になる x を探していきましょう。

 

問題は大学入試センターから(数学→数学1→数学I・数学A)

Follow me!