平成28年度センター試験【数学I・A】第1問[3]

不等式①の左辺を f(x) として因数分解します。

別添資料 (1)式

この式から、f(x)=0 となる x の値は a2 と -20 であることがわかります。

a は 1 以上の定数なので、a2 はかならず -20 より大きい値です。

f(x) は下に凸の関数で、図であらわすと次のようになります。

別添資料 図1

この図から f(x)≦0 になるのは -20≦x≦a2 の範囲であることがわかります。

 

同様に、不等式②の左辺を g(x) として因数分解します。

別添資料 (2)式

この式から、g(x)=0 となる x の値は 0 と -4a であることがわかります。

a は 1 以上の定数なので、-4a はかならず 0 より小さい値です。

g(x) も下に凸の関数で、図であらわすと次のようになります。

別添資料 図2

この図から g(x)≧0 になるのは x≦-4a、0≦x の範囲であることがわかります。

 

次に、これら2つの不等式をどちらも満たす解を探します。

例として a=3 としたときの f(x) と g(x) のグラフを1つの図にして考えましょう。

別添資料 図3

この連立不等式を満たす負の実数は -20≦a≦-4a の範囲にあります。

a の値によって -4a は x 軸の負の方向へ移動しますが、もし -20 より負の値になってしまうと連立不等式を満たす負の実数が無くなるので、-20 が境界です。

その条件のもとで式を解きます。

別添資料 (3)式

問題の条件に a は 1 以上とあるので、a の値の範囲は 1≦a≦5 です。

 

問題は大学入試センターから(数学→数学1→数学I・数学A)

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