平成28年度センター試験【数学I・A】第1問[2](1)

a、b(ただし b は 0 以外とする)を整数として、分数 a/b であらわされる数を有理数と言います。

たとえば、2(=2/1)、-3(=-3/1)、0.4(=2/5)、0.333…(=1/3)のような数です。

有理数の中で、小数であらわされない数(2 や -3 など)を整数と言います。

また小数の中で、小数点以下が続く場合(0.333…)と続かない場合(0.4)があり、前者を無限小数、後者を有限小数と言います。

さらに有理数の無限小数は、1/3=0.333… や 1/11=0.09090… のように繰り返しのパターンが出てくるので循環小数と言います。

以上をまとめると、有理数は整数と有限小数、(無限小数の中の)循環小数から構成されている数と言えます。

 

そして有理数にあてはまらない数が無理数です。

無理数は分数であらわすことができず、循環しない無限小数です。

たとえば、√2(=1.414213562…)、√10(=3.16227766…)などの平方根で与えられる数や円周率 π(=3.141592654…)などがあてはまります。

 

有理数と無理数を合わせて実数と言います。

実数の他に虚数もあります。

虚数は2乗すると -1 になる数 i を使ってあらわされます。

 

次に選択肢の記号の意味を見ていきましょう。

 

集合 A の要素に a が含まれる場合、a∈A あるいは A∋a とあらわします。

また、集合 B が集合 A に含まれる部分集合であるとき、A⊃B あるいは B⊂A とあらわします。

この2つの記号はよく似ていますが、要素は集合に含まれている1つ1つの数のことで、集合は { } であらわされた要素の集団です。

たとえば X を偶数の集合としたとき、2 は集合 X に含まれるので 2∈X とあらわされるのに対して、集合 Y{2、4、6} は集合 X に含まれるので Y⊂X とあらわされます。

その他、集合 A と集合 B に共通する積集合をあらわすときは A∩B、集合 A あるいは集合 B の少なくともどちらかに含まれている和集合をあらわすときは A∪B と書きます。

 

以上をふまえて問題を考えていきましょう。

 

{0} は要素が 0 の集合で、有理数です。

したがって、A⊃{0} とあらわされます。

要素の数は1つですが、集合の形であらわされていますので集合として扱いましょう。

 

√7 が無理数であることから、√28=2√7 もまた無理数であることがわかります。

したがって、√28∈B とあらわされます。

今度は要素なのでこの記号を使います。

 

A は有理数全体の集合で、集合 A はもちろんのこと、集合 {0} も集合 A に含まれます。

したがって、A={0}∪A とあらわされます。

言葉の表現としては、集合 A は集合 {0} または集合 A からなるという感じでしょうか。

 

実数は有理数と無理数のどちらかに所属します。

有理数かつ無理数の数はなく、すなわち空集合です。

したがって、∅=A∩B とあらわされます。

 

問題は大学入試センターから(数学→数学1→数学I・数学A)

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