平成28年度センター試験【数学I・A】第1問[1](1)

 

 

問題に与えられている x の関数を展開して、x が付いている項と x が付いていない項にわけて整理します。

参考資料 (1)式

全部を展開せずに解くと少しスマートです。

参考資料 (2)式

 

求めた式を見ると f(x) は x の1次関数なので直線を描きます。

ここで注意することは、a の値によって直線の傾きが正にも負にもなりうることです。

その境界は x の係数を 0 とすることで求められます。

参考資料 (3)式

したがって a が 1/3 より小さければ直線の傾きは正であり、a が 1/3 より大きければ直線の傾きは負です。

たとえば、a=0 のときの直線と a=1 のときの直線は図1で表わされます。

参考資料 図1

 

ちなみに、図1の2つの直線の交点は a がどんな値であっても必ず通る点です。

この点は、(1)式を a が付いている項と a が付いていない項にわけて整理して、a の係数を 0 とすることで求められます。

別添資料 (4)式

したがって、a がどんな値であっても座標(2/3、5/3)は必ず通ることがわかります。

 

さて、0≤x≤1 における f(x) の最小値は、直線の傾きが正のときは x=0 のとき、直線の傾きが負のときは x=1 のときです。

そこで x に 0 と 1 を代入して答えを求めます。

別添資料 (5)式

 

問題は大学入試センターから(数学→数学1→数学I・数学A)

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